Koristni nasveti

Grafična rešitev enačb, neenakosti

Pin
Send
Share
Send
Send


Ena najprimernejših metod za reševanje kvadratnih neenakosti je grafična metoda. V tem članku bomo preučili, kako se kvadratne neenakosti rešujejo grafično. Najprej se pogovorimo o tem, kaj je bistvo te metode. Nato damo algoritem in razmislimo o primerih grafičnega reševanja kvadratnih neenakosti.

Navigacija po strani.

Bistvo grafične metode

Na splošno grafični način reševanja neenakosti z eno spremenljivko se uporablja ne le za reševanje kvadratnih neenakosti, ampak tudi neenakosti drugih vrst. Bistvo grafične metode za reševanje neenakosti naslednji: preučite funkciji y = f (x) in y = g (x), ki ustrezata levi in ​​desni strani neenakosti, narišite svoje grafe v en pravokoten koordinatni sistem in ugotovite, v katerih intervalih je graf ene izmed njih nameščen nižje ali višje od drugega. Te vrzeli, na katerih

  • graf funkcije f nad grafom funkcije g so rešitve neenakosti f (x)> g (x),
  • graf funkcije f, ki ni nižji od grafa funkcije g, so rešitve neenakosti f (x) ≥g (x),
  • graf funkcije f pod grafom funkcije g so rešitve neenakosti f (x),
  • graf funkcije f, ki ni višji od grafa funkcije g, so rešitve neenakosti f (x) ≤g (x).

Pravimo tudi, da so abscesi presečišč grafov funkcij f in g rešitve enačbe f (x) = g (x).

Te rezultate prenašamo v našem primeru - za reševanje kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c (≤,>, ≥).

Uvedemo dve funkciji: prva y = a · x 2 + b · x + c (v tem primeru f (x) = a · x 2 + b · x + c) ustreza levi strani kvadratne neenakosti, druga y = 0 (v tem primeru g (x) = 0) ustreza desni strani neenakosti. Urnik kvadratna funkcija f je parabola in graf stalna funkcija g je črta, ki sovpada z osjo abscese Ox.

Nadalje je po grafični metodi reševanja neenakosti potrebno analizirati, v katerih intervalih se graf ene funkcije nahaja nad ali pod drugo, kar nam bo omogočilo, da zapišemo želeno rešitev kvadratne neenakosti. V našem primeru moramo analizirati položaj parabole glede na os Ox.

Glede na vrednosti koeficientov a, b in c je možnih naslednjih šest možnosti (shematična predstavitev zadostuje za naše potrebe, os Oy pa lahko izpustimo, saj njen položaj ne vpliva na rešitev neenakosti):



Na tej risbi vidimo parabolo, katere veje so usmerjene navzgor in ki sekajo os Ox v dveh točkah, katerih absces je x1 in x2 . Ta risba ustreza primeru, ko je koeficient a pozitiven (odgovoren je za smer navzgor vej parabole) in kadar je vrednost pozitivna razlikovalnik kvadratnega trinoma a · x 2 + b · x + c (trinomal ima dve korenini, ki smo ju označili kot x1 in x2 , in sprejeli smo, da x1 , saj je na osi Ox točka z absceso x1 levo od točke x2 ) Če želite specifike, nato zgradite parabolo y = x 2 −x - 6, njen koeficient a = 1> 0, D = b 2 −4 · a · c = (- 1) 2 −4 · 1 · (−6) = 25> 0, x1= −2, x2=3 .

Zaradi jasnosti prikažemo z rdečo dele delov parabole, ki se nahajajo nad osjo absces, v modri barvi pa se nahajajo pod osjo.

Zdaj ugotovimo, katere vrzeli ustrezajo tem delom. Naslednja risba nam bo pomagala določiti (v prihodnosti bomo miselno narisali podobne dodelitve v obliki pravokotnikov):

Torej na osi absces sta bili dve vrzeli označeni z rdečo barvo (−∞, x1) in (x)2, + ∞), na njih je parabola višja od osi Ox, sestavljajo rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c> 0 in vrzel (x1, x2), ima parabolo pod osjo Ox, je rešitev neenakosti a · x 2 + b · x + c. Rešitve nestrogih kvadratnih neenakosti a · x 2 + b · x + c≥0 in a · x 2 + b · x + c≤0 bodo enake intervale, vendar je treba v njih vključiti številke x1 in x2 ki ustreza enakosti a · x 2 + b · x + c = 0.

In zdaj na kratko: za a> 0 in D = b 2 −4 · a · c> 0 (ali D '= D / 4> 0 za enakomeren koeficient b)

  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c> 0 je (−∞, x1) ∪ (x2, + ∞) ali v drugem zapisu x, x> x2 ,
  • z reševanjem kvadratne neenakosti a2+ b · x + c≥0 je (−∞, x1] ∪ [x2, + ∞) ali v drugem zapisu x≤x1 , x≥x2 ,
  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c je (x1, x2) ali v drugem vnosu x1 ,
  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c≤0 je [x1, x2] ali v drugem vnosu x1≤x≤x2 ,

kjer je x1 in x2 Ali so korenine kvadratnega trinoma a · x 2 + b · x + c in x1 .



Tu vidimo parabolo, katere veje so usmerjene navzgor in ki se dotikajo osi absces, torej ima eno skupno točko z njo, absciso te točke označujemo z x0 . Predstavljeni primer ustreza a> 0 (veje so usmerjene navzgor) in D = 0 (kvadratni trikom ima en koren x0 ) Za primer lahko vzamemo kvadratno funkcijo y = x 2 −4 · x + 4, tukaj je a = 1> 0, D = (- 4) 2 −4 · 1 · 4 = 0 in x0=2 .

Iz risbe je jasno razvidno, da se parabola nahaja nad osjo Ox povsod, razen točke tangencije, tj. V intervalih (−∞, x0), (x0, ∞). Za jasnost izberemo področja na risbi po analogiji s prejšnjim odstavkom.

Izvedemo sklepe: za a> 0 in D = 0

  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c> 0 je (−∞, x0) ∪ (x0, + ∞) ali v drugem zapisu x ≠ x0 ,
  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c≥0 je (−∞, + ∞) ali v drugem zapisu x∈R,
  • kvadratna neenakost a · x 2 + b · x + c nima rešitve (ni intervalov, na katerih se parabola nahaja pod osjo Ox),
  • kvadratna neenakost a · x 2 + b · x + c≤0 ima edinstveno rešitev x = x0 (vam omogoča dotik)

kjer je x0 je koren kvadratnega trinomala a · x 2 + b · x + c.



V tem primeru so veje parabole usmerjene navzgor in nima skupnih točk z osjo absces. Tu imamo pogoje a> 0 (veje so usmerjene navzgor) in D (kvadratni trinomal nima pravih korenin). Na primer, lahko narišemo funkcijo y = 2 · x 2 +1, tukaj je a = 2> 0, D = 0 2 −4 · 2 · 1 = −8.

Očitno je parabola nameščena nad osjo Ox vzdolž celotne dolžine (ni intervalov, na katerih je pod osjo Ox, ni tangenca).

Tako je pri a> 0 in D rešitev kvadratnih neenakosti a · x 2 + b · x + c> 0 in a · x 2 + b · x + c≥0 množica vseh realnih števil, neenakosti a · x 2 + b · x + c in a · x 2 + b · x + c≤0 nimajo rešitve.

Ostajajo tri možnosti za lokacijo parabole z vejami, usmerjenimi navzdol in ne navzgor glede na os Ox. Načeloma jih ne bomo upoštevali, saj nam pomnožitev obeh strani neenakosti na -1 omogoči prehod na enakovredno neenakost s pozitivnim koeficientom pri x 2. A vseeno, ne boli, če bi dobili predstavo o teh primerih. Obrazložitev je podobna, zato pišemo samo glavne rezultate.



Za a in D> 0

  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c> 0 je (x1, x2) ali v drugem vnosu x1 ,
  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c≥0 je [x1, x2] ali v drugem vnosu x1≤x≤x2 ,
  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c je (−∞, x1) ∪ (x2, + ∞) ali v drugem zapisu x, x> x2 ,
  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c≤0 je (−∞, x1] ∪ [x2, + ∞) ali v drugem zapisu x≤x1, x≥x2 ,

kjer je x1 in x2 Ali so korenine kvadratnega trinoma a · x 2 + b · x + c in x1 .



Za a in D = 0

  • kvadratna neenakost a · x 2 + b · x + c> 0 nima rešitve,
  • kvadratna neenakost a · x 2 + b · x + c≥0 ima edinstveno rešitev x = x0 ,
  • rešitev neenakosti a · x 2 + b · x + c je (−∞, x0) ∪ (x0, + ∞) ali v drugem zapisu x ≠ x0 ,
  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c≤0 je množica vseh realnih števil (−∞, + ∞) ali v drugem zapisu x∈R,

kjer je x0 je koren kvadratnega trinomala a · x 2 + b · x + c.



Za a in D kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c> 0 in a · x 2 + b · x + c≥0 nimajo rešitev in z reševanjem neenakosti a · x 2 + b · x + c in a · X 2 + b · x + c≤0 je množica vseh realnih števil.

Algoritem odločanja

Rezultat vseh prejšnjih izračunov je algoritem za grafično reševanje kvadratnih neenakosti:

Na koordinatni ravnini se izvede shematična risba, na kateri je upodobljena os Ox (os Oy je poljubna) in skica parabole, ki ustreza kvadratni funkciji y = a · x 2 + b · x + c. Če želite sestaviti skico parabole, je dovolj, da ugotovite dve točki:

  • Najprej se z vrednostjo koeficienta a izkaže, kam so usmerjene njene veje (za a> 0 - navzgor, za a - dol).
  • In drugič, vrednost diskriminatorja kvadratnega trinomala a · x 2 + b · x + c razkriva, ali parabola v dveh točkah (za D> 0) seka os z absceso, se jo dotakne v eni točki (pri D = 0) ali nima skupnih točk z osjo Ox (za D). Za udobje so na risbi navedene koordinate presečišč ali koordinate točke dotika (če so te točke), same točke pa so prikazane preluknjane pri reševanju strogih neenakosti ali običajne pri reševanju nestrokih neenakosti.

Ko je risba pripravljena, na njej v drugem koraku algoritma

  • pri reševanju kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c> 0 določimo intervale, pri katerih se parabola nahaja nad absciso,
  • pri reševanju neenakosti a · x 2 + b · x + c≥0 se določijo intervali, pri katerih se parabola nahaja nad osjo absces in se jim dodajo abscese presečiščnic (ali absces točke dotika),
  • pri reševanju neenakosti a · x 2 + b · x + c obstajajo vrzeli, na katerih je parabola pod osjo Ox,
  • končno se pri reševanju kvadratne neenakosti oblike a · x 2 + b · x + c≤0 pojavijo vrzeli, pri katerih je parabola pod osjo Ox in se jim dodajo abscese presečiščnic (ali absces točke dotika),

predstavljajo želeno rešitev kvadratne neenakosti in če teh vrzeli ni in ni tačkljivih točk, potem prvotna kvadratna neenakost nima rešitev.

Ostaja le rešiti nekaj kvadratnih neenakosti s pomočjo tega algoritma.

Bistvo grafične metode

Metoda je uporabna za reševanje morebitnih neenakosti, ne samo kvadratnih. Njegovo bistvo je naslednje: desna in leva stran neenakosti se štejeta kot dve ločeni funkciji y = f (x) in y = g (x), njuni grafi so zgrajeni v pravokotnem koordinatnem sistemu in gledajo, kateri od grafov se nahaja nad drugim in kateri intervali. Vrzeli se ocenjujejo na naslednji način:

  • rešitve neenakosti f (x)> g (x) so intervali, kjer je graf funkcije f večji od grafa funkcije g,
  • raztopine neenakosti f (x) ≥ g (x) so intervali, kjer graf f ni nižji od grafa g,
  • rešitve neenakosti f (x) g (x) so intervali, kjer je graf funkcije f nižji od grafa funkcije g,
  • rešitve neenakosti f (x) ≤ g (x) so intervali, pri katerih graf f ni večji od grafa g,
  • abscisi presečišč grafov funkcij f in g so rešitve enačbe f (x) = g (x).

Zgoraj upoštevajte zgornji algoritem. Če želite to narediti, vzemite kvadratno neenakost a · x 2 + b · x + c 0 (≤,>, ≥) in iz nje izpeljite dve funkciji. Leva stran neenakosti bo ustrezala y = a · x 2 + b · x + c (v tem primeru je f (x) = a · x 2 + b · x + c), desna y = 0 (v tem primeru g (x) = 0).

Graf prve funkcije je parabola, druge je ravna črta, ki sovpada z osjo x. Analizirajmo položaj parabole glede na os O x. Če želite to narediti, izvedemo shematično risbo.

Raztopina z dvema koreninama v kvadratnem trinomu

Veje parabole so usmerjene navzgor. V točkah prečka os x x 1 in x 2 . Koeficient a je v tem primeru pozitiven, saj je sam odgovoren za smer vej parabole. Razlikovalec je pozitiven, kar kaže na prisotnost dveh korenin v kvadratnem trinomu a x 2 + b x x c . Korenine trinoma, ki smo jih označili kot x 1 in x 2 in to sprejela x 1 x 2 , saj je na osi O x upodobljena točka z absceso x 1 levo od točke absces x 2 .

Deli parabole, ki se nahajajo nad osjo O x, so označeni z rdečo, spodaj - z modro. To nam bo omogočilo, da bo slika bolj vizualna.

Izberite vrzeli, ki ustrezajo tem delom in jih na sliki označite s polji določene barve.

Z rdečo smo označili vrzeli (- ∞, x 1) in (x 2, + ∞), na njih parabolo nad osjo O x. So rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c> 0. Z modro barvo smo označili interval (x 1, x 2), ki je rešitev neenakosti a · x 2 + b · x + c 0. Števji x 1 in x 2 bosta ustrezali enakosti a · x 2 + b · x + c = 0.

Naredimo kratek zapis rešitve. Za a> 0 in D = b 2 - 4 · a · c> 0 (ali D '= D 4> 0 za enakomeren koeficient b) dobimo:

  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c> 0 je (- ∞, x 1) ∪ (x 2, + ∞) ali v drugem zapisu x x 1, x> x 2,
  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c ≥ 0 je (- ∞, x 1] ∪ [x 2, + ∞) ali, v drugem zapisu, x ≤ x 1, x ≥ x 2,
  • rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c 0 je (x 1, x 2) ali v drugem zapisu x 1 x x 2,
  • je rešitev kvadratne neenakosti a · x 2 + b · x + c ≤ 0 bodisi v drugem zapisu x 1 ≤ x ≤ x 2,

kjer sta x 1 in x 2 korenine kvadratnega trinoma a · x 2 + b · x + c in x 1 x 2.

Enokoreninska rešitev za kvadratni trinomal

Na tej sliki se parabola dotika osi O samo na eni točki, ki je označena kot x 0 . Veje parabole so usmerjene navzgor, kar pomeni, da to a> 0 . D = 0 zato ima kvadratni trinom en koren x 0 .

Parabola je nameščena popolnoma nad osjo O, razen točke stika koordinatne osi. Z barvo označujemo intervale (- ∞, x 0), (x 0, ∞).

Zabeležite rezultate. Na a> 0 in D = 0 :

  • reševanje kvadratne neenakosti a x 2 + b x x c> 0 je (- ∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) ali v drugem zapisu x ≠ x 0 ,
  • reševanje kvadratne neenakosti a x 2 + b x x c ≥ 0 je ( − ∞ , + ∞ ) ali v drugem zapisu x ∈ R,
  • kvadratna neenakost a x 2 + b x x c 0 nima rešitve (ni intervalov, v katerih se parabola nahaja pod osjo O x ),
  • kvadratna neenakost a x 2 + b x x c ≤ 0 ima edino rešitev x = x 0 (vam omogoča dotik)

kje x 0 - koren kvadratnega trinoma a x 2 + b x x c .

Rešitev kvadratnega trinomala brez korenin

Razmislimo o tretjem primeru, ko so veje parabole usmerjene navzgor in se ne dotikajo osi O x . Veje parabole so usmerjene navzgor, kar pomeni, da to a> 0 . Kvadratni trinomal nima pravih korenin, saj D 0 .

Na grafu ni intervalov, pri katerih bi bila parabola pod osjo absces. To bomo upoštevali pri izbiri barve za našo risbo.

Izkaže se, da s a> 0 in D 0 reševanje kvadratnih neenakosti a x 2 + b x x c> 0 in a x 2 + b x x c ≥ 0 je množica vseh realnih števil in neenakosti a x 2 + b x x c 0 in a x 2 + b x x c ≤ 0 nimajo rešitev.

Razmisliti moramo o treh možnostih, ko so veje parabole usmerjene navzdol. Teh treh možnosti ni mogoče podrobno ustaviti, saj ko pomnožimo obe strani neenakosti z - 1, dobimo enakovredno neenakost s pozitivnim koeficientom pri x 2.

Ta video tutorial je na voljo s pomočjo naročnine.

Že imate naročnino? Prijavite se

Med lekcijo boste lahko samostojno preučili temo "Grafična rešitev enačb, neenakosti." Učitelj v pouku bo analiziral grafične metode za reševanje enačb in neenakosti. Naučila vas bo, kako sestaviti grafe, jih analizirati in rešiti enačbe in neenakosti. Pouk bo zajel tudi konkretne primere na to temo.

Tema: Številske funkcije

Lekcija: Grafična rešitev enačb, neenakosti

1. Tema pouka, uvod

Pregledali smo grafe osnovnih funkcij, vključno z grafi moči funkcij z različnimi eksponenti. Preučili smo tudi pravila za premikanje in transformiranje grafov funkcij. Vsa ta znanja je treba uporabiti, kadar je to potrebno. grafičniodločitev enačbe ali grafična odločitevneenakosti.

2. Grafično reševanje enačb in neenakosti

Primer 1. Grafično rešite enačbo:

Konstruiramo funkcijske grafe (slika 1).

Funkcijski graf

Graf funkcije je ravna črta, konstruiramo jo v skladu s tabelo.

Grafi se sekajo v točki, ki se monotono zmanjšuje, kar pomeni, da je njihovo presečišče edinstveno.

Odgovor je:

Primer 2. Rešite neenakost

a.

b.

a. Za zadovoljevanje neenakosti je graf funkcije

b. V tem primeru, nasprotno, parabola

a.

b.

Primer 3. Rešite neenakost

Konstruiramo grafe funkcij (slika 2).

Poiščite koren enačbe.

Tako da neenakost velja.

Odgovor je:

Primer 4. Neenakost rešite grafično:

a.

b.

Področje uporabe:

Izdelamo grafe funkcij (slika 3).

a. Funkcijski graf

b. Funkcijski graf

a.

b.

3. Zaključek

Preučili smo grafično metodo za reševanje enačb in neenakosti, pregledali smo konkretne primere, pri reševanju katerih smo uporabili take lastnosti funkcij, kot sta monotonost in parnost.

Priporočen seznam za branje

1. Mordkovič A.G. in druge algebra 9 celic: učbenik. Za splošno izobraževanje. Institucije. - 4. izd. - M .: Mnemozin, 2002.-192 str .: bol.

2. Mordkovič A.G. in drugi Algebra 9. razreda: Knjiga problemov za učence splošnih izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovič, T. N. Mišustina in drugi - 4. izd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 str .: Ill.

3. Makaričev Ju. N. Algebra. 9. razred: učbenik. za študente splošne šole. inštitucij / Ju. N. Makarovčev, N. G. Mindyuk, K. I. Neškov, I. E. Feoktistov. - 7. izd., Odl. in dodaj. - M .: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra 9. razred 16. izd. - M., 2011 .-- 287 str.

5. Mordkovič A. G. Algebra. 9. razred Ob 2 uri, 1. del Učbenik za učence izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovič, P. V. Semenov. - 12. izd. - M .: 2010 .-- 224 str.: Ill.

6. Algebra. 9. razred V dveh urah 2. del Uganka za študente izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovič, L. A. Alexandrova, T. N. Mišustina in drugi, Ed. A. G. Mordkovič. - 12. izd., Odl. - M .: 2010.-223 str .: bol.

Priporočljive internetne povezave

1. Sektor College.ru iz matematike (Vir).

2. Internetni projekt "Naloge" (vir).

3. Izobraževalni portal "REŠIM izpit" (Vir).

Priporočena domača naloga

1. Mordkovič A.G. in drugi Algebra 9. razreda: Knjiga problemov za učence splošnih izobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovič, T. N. Mišustina in drugi - 4. izd. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 str .: Ill. Št. 355, 356, 364.

Če ugotovite napako ali prekinjeno povezavo, nas obvestite - prispevajte k razvoju projekta.

Oglejte si video: Reševanje sistema enačb grafično (Oktober 2020).

Pin
Send
Share
Send
Send